ماڵه‌وه‌ » Uncategorized » بیردۆزی نرخی ناوه‌ندی (Intermediate value theorem)

بیردۆزی نرخی ناوه‌ندی (Intermediate value theorem)

یه‌كێك له‌ بیردۆزه‌ گرنگه‌كانی ناو بیركاری شیته‌لكاری پێی ده‌وترێت بیردۆزی نرخی ناوه‌ندی  كه‌ بۆ ئاسانی زۆرجار كورتكراوه‌ی IVT بۆ به‌كارده‌هێنرێت. ده‌ڵێت:

گه‌ر هاتوو نه‌خشه‌یه‌كی وه‌كو f مان هه‌بوو كه‌ به‌رده‌وامبوو له‌ ماوه‌ی داخراوی [a,b] وه‌ گه‌ر هاتوو ژماره‌یه‌كی وه‌كو c به‌ده‌ستكه‌وت كه‌ نرخه‌كه‌ی له‌نێوان هه‌ر دوو نرخی    f(a) و f(b) بوو ئه‌وا ژماره‌یه‌كی وه‌كو d b بوونی ده‌بێت له‌ناو ماوه‌ی داخراوی [a,b] به‌جۆرێك f(d)=c.

قوتابی زانكۆ سه‌ره‌تا ئه‌م بیردۆزه‌ له‌ وانه‌ی كالكوله‌س یاخود باشتره‌ بڵێم Calc 1  ( سالی یه‌كه‌م) ده‌خوێنیت، به‌لام قوتابی به‌شه‌كانی بیركاری یان هه‌ندێك جار قوتابی به‌شی ئامار له‌ وانه‌ی بیركاری شیته‌ڵكاری (Mathematical Analysis) ئه‌م ده‌رسه‌ ده‌خوێنێت.

با بۆ چه‌ند ساتێك واز له‌ ره‌سمیات و ئه‌و پێناسه‌یه‌ی سه‌ره‌وه‌ بهێنین و محاوه‌له‌ بكه‌ین ئه‌م بیردۆزه‌ به‌شێوه‌ی حه‌ده‌سی حالیببین. واته‌ هه‌وڵ بده‌ین كه‌ بتوانین به‌ ئاسانی بۆ هه‌موو كه‌سی روون بكه‌ینه‌وه‌. ئه‌م جۆره‌ بیركردنه‌وه‌یه‌ بۆ تێگه‌یشتن له‌ بابه‌ت زه‌رووره‌ به‌لام بۆ ئه‌وه‌ی تێگه‌یشتنێكی تۆكمه‌و قوڵت بۆ بابه‌ته‌كه‌ هه‌بێت ده‌بیت دواتر بگه‌ریته‌وه‌ بۆ پێناسه‌كه‌ی سه‌ره‌وه‌…

Screenshot 2016-09-02 11.08.35

بیردۆزه‌كه‌ ده‌ڵێت:

گه‌ر نه‌خشه‌یه‌كی به‌رده‌وامت هه‌بێت له‌ماوه‌ی [0,2] واته‌ كاتێك نه‌خشه‌كه‌ له‌ f(0) بۆ f(2) ده‌كێشیت ئه‌وا نابێت هیچ ده‌ستت له‌سه‌ر ئه‌و لاپه‌ڕه‌یه‌ هه‌ڵبگریت كه‌ وێنه‌كه‌ی له‌سه‌ر ده‌كه‌یت، واته‌ نابێت وێنه‌كه‌ هیچ بازدانێك، چاڵێكی تیادا بیت. به‌م جۆره‌ نه‌خشه‌كه‌ به‌رده‌وام ده‌بیت، ئێستا سه‌یری نرخ f(0) وه‌ نرخی f() بكه‌، بۆ نموونه‌ له‌و گرافی نه‌خشه‌یه‌ی كه‌ ئێمه‌ هه‌مانه‌ f(0)<f(2). ئه‌وا به‌ گوێره‌ی  بیردۆزی نرخی ناوه‌ندی وه‌ چونكی   ژماره‌ 4 له‌ نێوان f(0) وه‌ f(2) دایه‌ واته‌ f(0)<4<f(2) ئه‌وا ده‌بیت ژماره‌یه‌كمان هه‌بێت له‌ نێوان [0,2] كه‌ نرخی نه‌خشه‌ی ئه‌و ژماره‌یه‌ بكاته‌ 4, دیاره‌ له‌ نموونه‌كه‌ی ناو وێنه‌كه‌ ژماره‌كه‌ ده‌كاته‌ 1, به‌مانایه‌كی تر f(1)=4.

نموونه‌یه‌كی جێبه‌جێكاری IVT

گریمان دوو نه‌خشه‌مان هه‌یه‌ ئه‌وانیش f(x)=x^2 له‌گه‌ل g(x)=x^3 وا ده‌مانه‌وێت پیشانی بده‌ین كه‌ ئه‌م دوو نه‌خشه‌یه‌ له‌نێوان 1 وه‌ 3 له‌ جیگایه‌كدا یه‌كتری ده‌بڕن. واته‌ له‌و خاڵه‌دا هه‌ردوو نه‌خشه‌كه‌ هه‌مان نرخیان هه‌یه‌. پرسیاره‌كه‌ ئه‌وه‌یه‌ ئایا ئه‌و خاڵه‌ كامه‌یه‌؟

ڕێگا زۆره‌ بۆ دۆزنیه‌وه‌ی خاڵی یه‌كتربڕینه‌كه‌ له‌ ماوه‌ی [0,3]. یه‌كێك له‌و ڕێگایانه‌ ده‌توانیت گرافی( وێنه‌ی) هه‌ردوو نه‌خشه‌كه‌ بكه‌یت و خاڵه‌كه‌ ده‌ستنیشان بكه‌یت( ئه‌مه‌یان زۆر ده‌قیق ده‌رناچێت! بزانم ده‌زانیت بۆچی؟). ڕێگای  دووهه‌م جه‌بریه‌؛ كه‌ هه‌ڵده‌ستین به‌ یه‌كسانكردنی هه‌ردوو نه‌خشه‌كه‌ به‌یه‌كتری و دواتر هاوكێشه‌یه‌كمان ده‌ستده‌كه‌ویت كه‌ ده‌كاته‌:

x^2-x^3=0

دواتریش شیكاری ئه‌م هاوكێشه‌یه‌ ده‌دۆزینه‌وه‌ وه‌ كام نرخه‌ی x له‌نێوان 1 و 3 دا بوو ئه‌وه‌ ده‌بیته‌ وه‌ڵامی پرسیاره‌كه‌.

رێگای سیهه‌م كه‌ مه‌به‌ستی سه‌ره‌كی ئه‌م پۆسته‌یه‌ میتۆدێك وه‌رده‌گرین كه‌ پشت به‌ كالكوله‌س ده‌به‌ستێت، وه‌ زۆر به‌ تایبه‌تیش پشت به‌ بیردۆزی IMT ده‌به‌ستیت، به‌م جۆره‌ی خواره‌وه‌:

نه‌خشه‌یه‌كی نوێ دروست ده‌كه‌ین به‌ناوی k(x) كه‌ ده‌كاته‌ جیاوازی نێوان دوو نه‌خشه‌كه‌ی سه‌ره‌وه‌ واته‌

k(x)=f(x)-g(x) ، به‌مجۆره‌ k(x)=2x^2-x^3 . سه‌ره‌تا له‌ یاسا بنه‌ڕه‌تیه‌كانی به‌رده‌وامیه‌وه‌ ده‌زانین كه‌ نه‌خشه‌ی  k(x) به‌رده‌وامه‌. چونكه‌ هه‌میشه‌ كۆی یاخود جیاوازی نێوان دوو نه‌خشه‌ی به‌رده‌وامه‌ دووباره‌ به‌رده‌وام ده‌بیت ( بزانم ده‌زانیت بۆچی نه‌خشه‌كان f(x) وه‌ g(x) بۆچی به‌رده‌وامن؟). وه‌ پێویستیمان به‌دۆزینه‌وه‌ی نرخی نه‌خشه‌ نوێیه‌كه‌مان هه‌یه‌ له‌ هه‌ردوو خاڵی 1 وه‌ 3 دا. به‌م جۆره‌

k(1)=2 \times 1^2- 1^3=2-1=1

k(3)=2 \times 3^2- 3^3=18-27=-9

 به‌م جۆره؛ k(1) \times k(3)=1 \times -9=-9

واته‌ ماده‌م نه‌خشه‌ی k(x) به‌رده‌وامه‌ وه‌  k(1) \times k(3) <0 ئه‌وا به‌ گوێره‌ی بیردۆزی نرخی ناوه‌ند  خاڵێكی وه‌كو c مان هه‌یه‌ له‌نێوان [1,3] دا كه‌ k(c)=0  ( تێبینی ئه‌وه‌ بكه‌ كه‌ سفر ده‌كه‌وێته‌ نێوان ماوه‌ی داخراوی [-9,1].

به‌م جۆره‌ k(c)=f(c)-g(c)=0   واته‌  f(c)=g(c) كه‌ دیاره‌ ئه‌مه‌یش داواكراوه‌كه‌ بوو!

تێبینی ئه‌وه‌ بكه‌، كه‌ بیردۆزی IVT پێمان ناڵێت كه‌ ئاخۆ ئه‌و خاڵه‌ كامه‌یه‌، وه‌ هه‌ڵبه‌ت دۆزینه‌وه‌ی زۆرجار موسته‌حیله‌! به‌ڵام رێگاو ته‌كنیك زۆره‌ بۆ دۆزینه‌وه‌ی ئه‌و ژماره‌یه‌ به‌نزیكراوه‌یه‌یی ( بۆ نموونه‌ ده‌توانین سوود له‌ میتۆدی نیوه‌تن وه‌ربگرین بۆ دۆزینه‌وه‌ی ئه‌و نرخه‌، كه‌ قوتابی به‌شه‌كانی بیركاری له‌ قۆناغی سێهه‌م له‌ وانه‌ی شیته‌ڵكاری ژماره‌یی (Numerical Analysis ) ده‌یخوێنین وه‌ دیاریشه‌ كۆمپیوته‌ر ئه‌م ڕێگا ته‌قریبیه‌ به‌كارده‌هێنیت.

شاخی گۆیژه‌

شاخی گۆیژه‌

نموونه‌یه‌كی سه‌رنج ڕاكێش

كابرایه‌ك هه‌موو ڕۆژانی هه‌ینی له‌ بناری شاخی گۆیژه‌وه‌ سه‌عات 8 به‌یانی به‌پێ سه‌ركه‌وێت وه‌ كاتژمێر 10 به‌یانی ده‌گاته‌ سه‌ر لوتكه‌ی چیاكه‌، شه‌و له‌سه‌ر چیاكه‌ ده‌مینیته‌وه‌، و به‌یانی به‌ هه‌مان شێوه‌ له‌ كاتژمێر 8 به‌یانی ده‌ست به‌هاتنه‌خواره‌وه‌ ده‌كات و سه‌عات 10 به‌یانی ده‌گاته‌ بناری گۆیژه‌ ( هه‌مان ئه‌و شوێنه‌ی كه‌ ڕۆژی پێشووتر كه‌ له‌ كاتژمێر 8 ده‌ستی به‌ جووله‌ كردبوو).  هه‌ڵبه‌ت هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌ هه‌مان ڕێره‌وی گرتووه‌ته‌ به‌ر، واته‌ ڕێگای سه‌ركه‌وتن و هاتنه‌ خواره‌وه‌ هه‌ر یه‌كه‌.

پرسیاره‌كه‌ ده‌ڵێت:

پیشانی بده‌، كه‌ جێگایه‌ك هه‌یه‌ له‌و ڕێره‌وی سه‌ركه‌وتن و دابه‌زینه‌دا كه‌ ئه‌و پیاوه‌ هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌ له‌ هه‌مان كاتدا له‌و جێگایه‌ بووه‌!

بۆ نموونه‌: له‌وانه‌یه‌ له‌سه‌عات ٩:٤٠ له‌ هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌دا له‌ ناوه‌ڕاستی شاخه‌كه‌دا بیت ( هه‌مان جێگه‌).

 

شیكاركردن:

سه‌ره‌تا هه‌وڵئه‌ده‌ین دوو نه‌خشه‌ دروست بكه‌ین، یه‌كێكیان بۆ سه‌ركه‌وتن و ئه‌وه‌ی دیكه‌یان بۆ دابه‌زین، بواری نه‌خشه‌كه‌ ده‌بیت كات ( دوو كاتژمێر، یاخود باشتره‌ بڵێین 120 خوله‌ك). وه‌ بواری به‌رامبه‌ر ده‌بیته‌ به‌رزی شاخه‌كه‌، واته‌ بۆ هه‌ر خوله‌كیكی دیاریكراو، ئه‌و كابرایه‌ له‌ به‌رزاییه‌كی دیاریكراودایه‌ وه‌ واداده‌نین كه‌ به‌رزی شاخی گۆیژه‌ 2000 مه‌تره‌ ( هه‌ڵبه‌ت هیچ سه‌رچاوه‌یه‌كم له‌به‌ر ده‌ست نیه‌ و ته‌نها ته‌خمینه‌). بۆ سه‌ركه‌وتن نه‌خشه‌كه‌ ناو ده‌نین f(x) بۆ هاتنه‌خواره‌وه‌ g(x) گه‌ر سه‌رنج بده‌یت، نه‌خشه‌ی یه‌كه‌م رووله‌زیادبوونه‌(increasing) وه‌ ئه‌وه‌ی دووهه‌میان ڕوو له‌كه‌مبوونه‌(decreasing). وه‌ گه‌ر بناری شاخی گۆیژه‌ به‌ A دابنین ( كه‌ به‌رزیه‌كه‌ی سفره‌)  وه‌ خاڵی B به‌ لوتكه دابنین ئه‌وا به‌رزیه‌كه‌ ده‌كاته‌ 2000. به‌م جۆره‌ نرخی دوو نه‌خشه‌كه له‌م دوو جێگایه‌ ده‌دۆزینه‌وه‌ به‌م شێوه‌یه‌:

f(0)=0,g(0)=2000,f(120)=2000,g(120)=0

به‌هه‌مان شێوه‌ی پرسیاره‌كه‌ی پێشووتر نه‌خشه‌یه‌كی تر دروست ده‌كه‌ین به‌ناوی h(x) به‌م جۆره‌ h(x)=f(x)-g(x). كه‌ دیاریشه‌  h(0)=-2000,h(120)=-2000. له‌ كۆتاییدا گه‌ر ئه‌م دوو نرخه‌ جارانی یه‌كتر بكه‌ین ئه‌وا نیشانه‌ی ئه‌نجامه‌كه‌ سالب ده‌بیت.

h(0) \times h(120)=-2000000<0

به‌م جۆره‌ كاتێكی c  بوونی هه‌یه‌  كه‌ تیاییدا h(c)=0 كه‌ دیاره‌ ئه‌مه‌ بۆیه‌ راسته‌ چونكه‌ هه‌موو مه‌رجه‌كانی بیردۆزی IVT ته‌حقیق بوو. به‌م شێوه‌یه‌ f(c)=g(c) به‌مانایه‌كی دیكه‌، له‌ خوله‌كه‌ی c دا له‌ هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌دا كابراكه‌ له‌هه‌مان جێگا ( به‌رزی) شاخی گۆیژه‌دایه‌.

گه‌ر له‌م شه‌رحه‌ی سه‌ره‌وه‌ر باش حالینه‌بوویت، هیوادارم له‌م وێنه‌ی خواره‌وه‌ سوود وه‌ربگریت.

screenshot-2016-09-18-23-29-34

 

سه‌رنج:

  1. هه‌ڵبه‌ت من گریمانه‌ی ئه‌وه‌مكردووه‌ كه‌ بناری شاخی گۆیژه‌ به‌رزیه‌كه‌ی سفره‌ كه‌ هه‌ڵبه‌ت وانیه‌، به‌س ئه‌مه‌ هیچ له‌مه‌سه‌له‌كه‌ ناگۆڕێت، واته‌ هه‌رچه‌ندیك بێت هه‌ر هه‌مان ئه‌نجاممان ده‌ستده‌كه‌ویت.
  2. له‌وانه‌یه‌ كابرا هه‌ندێك جار به‌ كه‌یفی خۆی ئیسراحه‌ت بكات، به‌لام هه‌میشه‌ به‌ دوو سه‌عات ڕێگاكه‌ ده‌بڕێت، واته‌ هه‌ندێك جار زۆر خێرا ده‌ڕوات وه‌ هه‌ندێك جاری تر زۆر خاو ده‌ڕوات.
Advertisements

وەڵامێک بنووسە

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / گۆڕین )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / گۆڕین )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / گۆڕین )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / گۆڕین )

Connecting to %s

ئه‌یلول 2016
د س W پ ه ش ی
« مارس    
 1234
567891011
12131415161718
19202122232425
2627282930  
%d هاوشێوەی ئەم بلۆگەرانە: