بیردۆزی نرخی ناوه‌ندی (Intermediate value theorem)

یه‌كێك له‌ بیردۆزه‌ گرنگه‌كانی ناو بیركاری شیته‌لكاری پێی ده‌وترێت بیردۆزی نرخی ناوه‌ندی  كه‌ بۆ ئاسانی زۆرجار كورتكراوه‌ی IVT بۆ به‌كارده‌هێنرێت. ده‌ڵێت:

گه‌ر هاتوو نه‌خشه‌یه‌كی وه‌كو f مان هه‌بوو كه‌ به‌رده‌وامبوو له‌ ماوه‌ی داخراوی [a,b] وه‌ گه‌ر هاتوو ژماره‌یه‌كی وه‌كو c به‌ده‌ستكه‌وت كه‌ نرخه‌كه‌ی له‌نێوان هه‌ر دوو نرخی    f(a) و f(b) بوو ئه‌وا ژماره‌یه‌كی وه‌كو d b بوونی ده‌بێت له‌ناو ماوه‌ی داخراوی [a,b] به‌جۆرێك f(d)=c.

قوتابی زانكۆ سه‌ره‌تا ئه‌م بیردۆزه‌ له‌ وانه‌ی كالكوله‌س یاخود باشتره‌ بڵێم Calc 1  ( سالی یه‌كه‌م) ده‌خوێنیت، به‌لام قوتابی به‌شه‌كانی بیركاری یان هه‌ندێك جار قوتابی به‌شی ئامار له‌ وانه‌ی بیركاری شیته‌ڵكاری (Mathematical Analysis) ئه‌م ده‌رسه‌ ده‌خوێنێت.

با بۆ چه‌ند ساتێك واز له‌ ره‌سمیات و ئه‌و پێناسه‌یه‌ی سه‌ره‌وه‌ بهێنین و محاوه‌له‌ بكه‌ین ئه‌م بیردۆزه‌ به‌شێوه‌ی حه‌ده‌سی حالیببین. واته‌ هه‌وڵ بده‌ین كه‌ بتوانین به‌ ئاسانی بۆ هه‌موو كه‌سی روون بكه‌ینه‌وه‌. ئه‌م جۆره‌ بیركردنه‌وه‌یه‌ بۆ تێگه‌یشتن له‌ بابه‌ت زه‌رووره‌ به‌لام بۆ ئه‌وه‌ی تێگه‌یشتنێكی تۆكمه‌و قوڵت بۆ بابه‌ته‌كه‌ هه‌بێت ده‌بیت دواتر بگه‌ریته‌وه‌ بۆ پێناسه‌كه‌ی سه‌ره‌وه‌…

Screenshot 2016-09-02 11.08.35

بیردۆزه‌كه‌ ده‌ڵێت:

گه‌ر نه‌خشه‌یه‌كی به‌رده‌وامت هه‌بێت له‌ماوه‌ی [0,2] واته‌ كاتێك نه‌خشه‌كه‌ له‌ f(0) بۆ f(2) ده‌كێشیت ئه‌وا نابێت هیچ ده‌ستت له‌سه‌ر ئه‌و لاپه‌ڕه‌یه‌ هه‌ڵبگریت كه‌ وێنه‌كه‌ی له‌سه‌ر ده‌كه‌یت، واته‌ نابێت وێنه‌كه‌ هیچ بازدانێك، چاڵێكی تیادا بیت. به‌م جۆره‌ نه‌خشه‌كه‌ به‌رده‌وام ده‌بیت، ئێستا سه‌یری نرخ f(0) وه‌ نرخی f() بكه‌، بۆ نموونه‌ له‌و گرافی نه‌خشه‌یه‌ی كه‌ ئێمه‌ هه‌مانه‌ f(0)<f(2). ئه‌وا به‌ گوێره‌ی  بیردۆزی نرخی ناوه‌ندی وه‌ چونكی   ژماره‌ 4 له‌ نێوان f(0) وه‌ f(2) دایه‌ واته‌ f(0)<4<f(2) ئه‌وا ده‌بیت ژماره‌یه‌كمان هه‌بێت له‌ نێوان [0,2] كه‌ نرخی نه‌خشه‌ی ئه‌و ژماره‌یه‌ بكاته‌ 4, دیاره‌ له‌ نموونه‌كه‌ی ناو وێنه‌كه‌ ژماره‌كه‌ ده‌كاته‌ 1, به‌مانایه‌كی تر f(1)=4.

نموونه‌یه‌كی جێبه‌جێكاری IVT

گریمان دوو نه‌خشه‌مان هه‌یه‌ ئه‌وانیش f(x)=x^2 له‌گه‌ل g(x)=x^3 وا ده‌مانه‌وێت پیشانی بده‌ین كه‌ ئه‌م دوو نه‌خشه‌یه‌ له‌نێوان 1 وه‌ 3 له‌ جیگایه‌كدا یه‌كتری ده‌بڕن. واته‌ له‌و خاڵه‌دا هه‌ردوو نه‌خشه‌كه‌ هه‌مان نرخیان هه‌یه‌. پرسیاره‌كه‌ ئه‌وه‌یه‌ ئایا ئه‌و خاڵه‌ كامه‌یه‌؟

ڕێگا زۆره‌ بۆ دۆزنیه‌وه‌ی خاڵی یه‌كتربڕینه‌كه‌ له‌ ماوه‌ی [0,3]. یه‌كێك له‌و ڕێگایانه‌ ده‌توانیت گرافی( وێنه‌ی) هه‌ردوو نه‌خشه‌كه‌ بكه‌یت و خاڵه‌كه‌ ده‌ستنیشان بكه‌یت( ئه‌مه‌یان زۆر ده‌قیق ده‌رناچێت! بزانم ده‌زانیت بۆچی؟). ڕێگای  دووهه‌م جه‌بریه‌؛ كه‌ هه‌ڵده‌ستین به‌ یه‌كسانكردنی هه‌ردوو نه‌خشه‌كه‌ به‌یه‌كتری و دواتر هاوكێشه‌یه‌كمان ده‌ستده‌كه‌ویت كه‌ ده‌كاته‌:

x^2-x^3=0

دواتریش شیكاری ئه‌م هاوكێشه‌یه‌ ده‌دۆزینه‌وه‌ وه‌ كام نرخه‌ی x له‌نێوان 1 و 3 دا بوو ئه‌وه‌ ده‌بیته‌ وه‌ڵامی پرسیاره‌كه‌.

رێگای سیهه‌م كه‌ مه‌به‌ستی سه‌ره‌كی ئه‌م پۆسته‌یه‌ میتۆدێك وه‌رده‌گرین كه‌ پشت به‌ كالكوله‌س ده‌به‌ستێت، وه‌ زۆر به‌ تایبه‌تیش پشت به‌ بیردۆزی IMT ده‌به‌ستیت، به‌م جۆره‌ی خواره‌وه‌:

نه‌خشه‌یه‌كی نوێ دروست ده‌كه‌ین به‌ناوی k(x) كه‌ ده‌كاته‌ جیاوازی نێوان دوو نه‌خشه‌كه‌ی سه‌ره‌وه‌ واته‌

k(x)=f(x)-g(x) ، به‌مجۆره‌ k(x)=2x^2-x^3 . سه‌ره‌تا له‌ یاسا بنه‌ڕه‌تیه‌كانی به‌رده‌وامیه‌وه‌ ده‌زانین كه‌ نه‌خشه‌ی  k(x) به‌رده‌وامه‌. چونكه‌ هه‌میشه‌ كۆی یاخود جیاوازی نێوان دوو نه‌خشه‌ی به‌رده‌وامه‌ دووباره‌ به‌رده‌وام ده‌بیت ( بزانم ده‌زانیت بۆچی نه‌خشه‌كان f(x) وه‌ g(x) بۆچی به‌رده‌وامن؟). وه‌ پێویستیمان به‌دۆزینه‌وه‌ی نرخی نه‌خشه‌ نوێیه‌كه‌مان هه‌یه‌ له‌ هه‌ردوو خاڵی 1 وه‌ 3 دا. به‌م جۆره‌

k(1)=2 \times 1^2- 1^3=2-1=1

k(3)=2 \times 3^2- 3^3=18-27=-9

 به‌م جۆره؛ k(1) \times k(3)=1 \times -9=-9

واته‌ ماده‌م نه‌خشه‌ی k(x) به‌رده‌وامه‌ وه‌  k(1) \times k(3) <0 ئه‌وا به‌ گوێره‌ی بیردۆزی نرخی ناوه‌ند  خاڵێكی وه‌كو c مان هه‌یه‌ له‌نێوان [1,3] دا كه‌ k(c)=0  ( تێبینی ئه‌وه‌ بكه‌ كه‌ سفر ده‌كه‌وێته‌ نێوان ماوه‌ی داخراوی [-9,1].

به‌م جۆره‌ k(c)=f(c)-g(c)=0   واته‌  f(c)=g(c) كه‌ دیاره‌ ئه‌مه‌یش داواكراوه‌كه‌ بوو!

تێبینی ئه‌وه‌ بكه‌، كه‌ بیردۆزی IVT پێمان ناڵێت كه‌ ئاخۆ ئه‌و خاڵه‌ كامه‌یه‌، وه‌ هه‌ڵبه‌ت دۆزینه‌وه‌ی زۆرجار موسته‌حیله‌! به‌ڵام رێگاو ته‌كنیك زۆره‌ بۆ دۆزینه‌وه‌ی ئه‌و ژماره‌یه‌ به‌نزیكراوه‌یه‌یی ( بۆ نموونه‌ ده‌توانین سوود له‌ میتۆدی نیوه‌تن وه‌ربگرین بۆ دۆزینه‌وه‌ی ئه‌و نرخه‌، كه‌ قوتابی به‌شه‌كانی بیركاری له‌ قۆناغی سێهه‌م له‌ وانه‌ی شیته‌ڵكاری ژماره‌یی (Numerical Analysis ) ده‌یخوێنین وه‌ دیاریشه‌ كۆمپیوته‌ر ئه‌م ڕێگا ته‌قریبیه‌ به‌كارده‌هێنیت.

شاخی گۆیژه‌

شاخی گۆیژه‌

نموونه‌یه‌كی سه‌رنج ڕاكێش

كابرایه‌ك هه‌موو ڕۆژانی هه‌ینی له‌ بناری شاخی گۆیژه‌وه‌ سه‌عات 8 به‌یانی به‌پێ سه‌ركه‌وێت وه‌ كاتژمێر 10 به‌یانی ده‌گاته‌ سه‌ر لوتكه‌ی چیاكه‌، شه‌و له‌سه‌ر چیاكه‌ ده‌مینیته‌وه‌، و به‌یانی به‌ هه‌مان شێوه‌ له‌ كاتژمێر 8 به‌یانی ده‌ست به‌هاتنه‌خواره‌وه‌ ده‌كات و سه‌عات 10 به‌یانی ده‌گاته‌ بناری گۆیژه‌ ( هه‌مان ئه‌و شوێنه‌ی كه‌ ڕۆژی پێشووتر كه‌ له‌ كاتژمێر 8 ده‌ستی به‌ جووله‌ كردبوو).  هه‌ڵبه‌ت هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌ هه‌مان ڕێره‌وی گرتووه‌ته‌ به‌ر، واته‌ ڕێگای سه‌ركه‌وتن و هاتنه‌ خواره‌وه‌ هه‌ر یه‌كه‌.

پرسیاره‌كه‌ ده‌ڵێت:

پیشانی بده‌، كه‌ جێگایه‌ك هه‌یه‌ له‌و ڕێره‌وی سه‌ركه‌وتن و دابه‌زینه‌دا كه‌ ئه‌و پیاوه‌ هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌ له‌ هه‌مان كاتدا له‌و جێگایه‌ بووه‌!

بۆ نموونه‌: له‌وانه‌یه‌ له‌سه‌عات ٩:٤٠ له‌ هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌دا له‌ ناوه‌ڕاستی شاخه‌كه‌دا بیت ( هه‌مان جێگه‌).

 

شیكاركردن:

سه‌ره‌تا هه‌وڵئه‌ده‌ین دوو نه‌خشه‌ دروست بكه‌ین، یه‌كێكیان بۆ سه‌ركه‌وتن و ئه‌وه‌ی دیكه‌یان بۆ دابه‌زین، بواری نه‌خشه‌كه‌ ده‌بیت كات ( دوو كاتژمێر، یاخود باشتره‌ بڵێین 120 خوله‌ك). وه‌ بواری به‌رامبه‌ر ده‌بیته‌ به‌رزی شاخه‌كه‌، واته‌ بۆ هه‌ر خوله‌كیكی دیاریكراو، ئه‌و كابرایه‌ له‌ به‌رزاییه‌كی دیاریكراودایه‌ وه‌ واداده‌نین كه‌ به‌رزی شاخی گۆیژه‌ 2000 مه‌تره‌ ( هه‌ڵبه‌ت هیچ سه‌رچاوه‌یه‌كم له‌به‌ر ده‌ست نیه‌ و ته‌نها ته‌خمینه‌). بۆ سه‌ركه‌وتن نه‌خشه‌كه‌ ناو ده‌نین f(x) بۆ هاتنه‌خواره‌وه‌ g(x) گه‌ر سه‌رنج بده‌یت، نه‌خشه‌ی یه‌كه‌م رووله‌زیادبوونه‌(increasing) وه‌ ئه‌وه‌ی دووهه‌میان ڕوو له‌كه‌مبوونه‌(decreasing). وه‌ گه‌ر بناری شاخی گۆیژه‌ به‌ A دابنین ( كه‌ به‌رزیه‌كه‌ی سفره‌)  وه‌ خاڵی B به‌ لوتكه دابنین ئه‌وا به‌رزیه‌كه‌ ده‌كاته‌ 2000. به‌م جۆره‌ نرخی دوو نه‌خشه‌كه له‌م دوو جێگایه‌ ده‌دۆزینه‌وه‌ به‌م شێوه‌یه‌:

f(0)=0,g(0)=2000,f(120)=2000,g(120)=0

به‌هه‌مان شێوه‌ی پرسیاره‌كه‌ی پێشووتر نه‌خشه‌یه‌كی تر دروست ده‌كه‌ین به‌ناوی h(x) به‌م جۆره‌ h(x)=f(x)-g(x). كه‌ دیاریشه‌  h(0)=-2000,h(120)=-2000. له‌ كۆتاییدا گه‌ر ئه‌م دوو نرخه‌ جارانی یه‌كتر بكه‌ین ئه‌وا نیشانه‌ی ئه‌نجامه‌كه‌ سالب ده‌بیت.

h(0) \times h(120)=-2000000<0

به‌م جۆره‌ كاتێكی c  بوونی هه‌یه‌  كه‌ تیاییدا h(c)=0 كه‌ دیاره‌ ئه‌مه‌ بۆیه‌ راسته‌ چونكه‌ هه‌موو مه‌رجه‌كانی بیردۆزی IVT ته‌حقیق بوو. به‌م شێوه‌یه‌ f(c)=g(c) به‌مانایه‌كی دیكه‌، له‌ خوله‌كه‌ی c دا له‌ هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌دا كابراكه‌ له‌هه‌مان جێگا ( به‌رزی) شاخی گۆیژه‌دایه‌.

گه‌ر له‌م شه‌رحه‌ی سه‌ره‌وه‌ر باش حالینه‌بوویت، هیوادارم له‌م وێنه‌ی خواره‌وه‌ سوود وه‌ربگریت.

screenshot-2016-09-18-23-29-34

 

سه‌رنج:

  1. هه‌ڵبه‌ت من گریمانه‌ی ئه‌وه‌مكردووه‌ كه‌ بناری شاخی گۆیژه‌ به‌رزیه‌كه‌ی سفره‌ كه‌ هه‌ڵبه‌ت وانیه‌، به‌س ئه‌مه‌ هیچ له‌مه‌سه‌له‌كه‌ ناگۆڕێت، واته‌ هه‌رچه‌ندیك بێت هه‌ر هه‌مان ئه‌نجاممان ده‌ستده‌كه‌ویت.
  2. له‌وانه‌یه‌ كابرا هه‌ندێك جار به‌ كه‌یفی خۆی ئیسراحه‌ت بكات، به‌لام هه‌میشه‌ به‌ دوو سه‌عات ڕێگاكه‌ ده‌بڕێت، واته‌ هه‌ندێك جار زۆر خێرا ده‌ڕوات وه‌ هه‌ندێك جاری تر زۆر خاو ده‌ڕوات.

بیردۆزی نرخی ناوه‌ندی (Intermediate value theorem)

یه‌كێك له‌ بیردۆزه‌ گرنگه‌كانی ناو بیركاری شیته‌لكاری پێی ده‌وترێت بیردۆزی نرخی ناوه‌ندی  كه‌ بۆ ئاسانی زۆرجار كورتكراوه‌ی IVT بۆ به‌كارده‌هێنرێت. ده‌ڵێت:

گه‌ر هاتوو نه‌خشه‌یه‌كی وه‌كو f مان هه‌بوو كه‌ به‌رده‌وامبوو له‌ ماوه‌ی داخراوی [a,b] وه‌ گه‌ر هاتوو ژماره‌یه‌كی وه‌كو c به‌ده‌ستكه‌وت كه‌ نرخه‌كه‌ی له‌نێوان هه‌ر دوو نرخی    f(a) و f(b) بوو ئه‌وا ژماره‌یه‌كی وه‌كو d b بوونی ده‌بێت له‌ناو ماوه‌ی داخراوی [a,b] به‌جۆرێك f(d)=c.

قوتابی زانكۆ سه‌ره‌تا ئه‌م بیردۆزه‌ له‌ وانه‌ی كالكوله‌س یاخود باشتره‌ بڵێم Calc 1  ( سالی یه‌كه‌م) ده‌خوێنیت، به‌لام قوتابی به‌شه‌كانی بیركاری یان هه‌ندێك جار قوتابی به‌شی ئامار له‌ وانه‌ی بیركاری شیته‌ڵكاری (Mathematical Analysis) ئه‌م ده‌رسه‌ ده‌خوێنێت.

با بۆ چه‌ند ساتێك واز له‌ ره‌سمیات و ئه‌و پێناسه‌یه‌ی سه‌ره‌وه‌ بهێنین و محاوه‌له‌ بكه‌ین ئه‌م بیردۆزه‌ به‌شێوه‌ی حه‌ده‌سی حالیببین. واته‌ هه‌وڵ بده‌ین كه‌ بتوانین به‌ ئاسانی بۆ هه‌موو كه‌سی روون بكه‌ینه‌وه‌. ئه‌م جۆره‌ بیركردنه‌وه‌یه‌ بۆ تێگه‌یشتن له‌ بابه‌ت زه‌رووره‌ به‌لام بۆ ئه‌وه‌ی تێگه‌یشتنێكی تۆكمه‌و قوڵت بۆ بابه‌ته‌كه‌ هه‌بێت ده‌بیت دواتر بگه‌ریته‌وه‌ بۆ پێناسه‌كه‌ی سه‌ره‌وه‌…

Screenshot 2016-09-02 11.08.35

بیردۆزه‌كه‌ ده‌ڵێت:

گه‌ر نه‌خشه‌یه‌كی به‌رده‌وامت هه‌بێت له‌ماوه‌ی [0,2] واته‌ كاتێك نه‌خشه‌كه‌ له‌ f(0) بۆ f(2) ده‌كێشیت ئه‌وا نابێت هیچ ده‌ستت له‌سه‌ر ئه‌و لاپه‌ڕه‌یه‌ هه‌ڵبگریت كه‌ وێنه‌كه‌ی له‌سه‌ر ده‌كه‌یت، واته‌ نابێت وێنه‌كه‌ هیچ بازدانێك، چاڵێكی تیادا بیت. به‌م جۆره‌ نه‌خشه‌كه‌ به‌رده‌وام ده‌بیت، ئێستا سه‌یری نرخ f(0) وه‌ نرخی f() بكه‌، بۆ نموونه‌ له‌و گرافی نه‌خشه‌یه‌ی كه‌ ئێمه‌ هه‌مانه‌ f(0)<f(2). ئه‌وا به‌ گوێره‌ی  بیردۆزی نرخی ناوه‌ندی وه‌ چونكی   ژماره‌ 4 له‌ نێوان f(0) وه‌ f(2) دایه‌ واته‌ f(0)<4<f(2) ئه‌وا ده‌بیت ژماره‌یه‌كمان هه‌بێت له‌ نێوان [0,2] كه‌ نرخی نه‌خشه‌ی ئه‌و ژماره‌یه‌ بكاته‌ 4, دیاره‌ له‌ نموونه‌كه‌ی ناو وێنه‌كه‌ ژماره‌كه‌ ده‌كاته‌ 1, به‌مانایه‌كی تر f(1)=4.

نموونه‌یه‌كی جێبه‌جێكاری IVT

گریمان دوو نه‌خشه‌مان هه‌یه‌ ئه‌وانیش f(x)=x^2 له‌گه‌ل g(x)=x^3 وا ده‌مانه‌وێت پیشانی بده‌ین كه‌ ئه‌م دوو نه‌خشه‌یه‌ له‌نێوان 1 وه‌ 3 له‌ جیگایه‌كدا یه‌كتری ده‌بڕن. واته‌ له‌و خاڵه‌دا هه‌ردوو نه‌خشه‌كه‌ هه‌مان نرخیان هه‌یه‌. پرسیاره‌كه‌ ئه‌وه‌یه‌ ئایا ئه‌و خاڵه‌ كامه‌یه‌؟

ڕێگا زۆره‌ بۆ دۆزنیه‌وه‌ی خاڵی یه‌كتربڕینه‌كه‌ له‌ ماوه‌ی [0,3]. یه‌كێك له‌و ڕێگایانه‌ ده‌توانیت گرافی( وێنه‌ی) هه‌ردوو نه‌خشه‌كه‌ بكه‌یت و خاڵه‌كه‌ ده‌ستنیشان بكه‌یت( ئه‌مه‌یان زۆر ده‌قیق ده‌رناچێت! بزانم ده‌زانیت بۆچی؟). ڕێگای  دووهه‌م جه‌بریه‌؛ كه‌ هه‌ڵده‌ستین به‌ یه‌كسانكردنی هه‌ردوو نه‌خشه‌كه‌ به‌یه‌كتری و دواتر هاوكێشه‌یه‌كمان ده‌ستده‌كه‌ویت كه‌ ده‌كاته‌:

x^2-x^3=0

دواتریش شیكاری ئه‌م هاوكێشه‌یه‌ ده‌دۆزینه‌وه‌ وه‌ كام نرخه‌ی x له‌نێوان 1 و 3 دا بوو ئه‌وه‌ ده‌بیته‌ وه‌ڵامی پرسیاره‌كه‌.

رێگای سیهه‌م كه‌ مه‌به‌ستی سه‌ره‌كی ئه‌م پۆسته‌یه‌ میتۆدێك وه‌رده‌گرین كه‌ پشت به‌ كالكوله‌س ده‌به‌ستێت، وه‌ زۆر به‌ تایبه‌تیش پشت به‌ بیردۆزی IMT ده‌به‌ستیت، به‌م جۆره‌ی خواره‌وه‌:

نه‌خشه‌یه‌كی نوێ دروست ده‌كه‌ین به‌ناوی k(x) كه‌ ده‌كاته‌ جیاوازی نێوان دوو نه‌خشه‌كه‌ی سه‌ره‌وه‌ واته‌

k(x)=f(x)-g(x) ، به‌مجۆره‌ k(x)=2x^2-x^3 . سه‌ره‌تا له‌ یاسا بنه‌ڕه‌تیه‌كانی به‌رده‌وامیه‌وه‌ ده‌زانین كه‌ نه‌خشه‌ی  k(x) به‌رده‌وامه‌. چونكه‌ هه‌میشه‌ كۆی یاخود جیاوازی نێوان دوو نه‌خشه‌ی به‌رده‌وامه‌ دووباره‌ به‌رده‌وام ده‌بیت ( بزانم ده‌زانیت بۆچی نه‌خشه‌كان f(x) وه‌ g(x) بۆچی به‌رده‌وامن؟). وه‌ پێویستیمان به‌دۆزینه‌وه‌ی نرخی نه‌خشه‌ نوێیه‌كه‌مان هه‌یه‌ له‌ هه‌ردوو خاڵی 1 وه‌ 3 دا. به‌م جۆره‌

k(1)=2 \times 1^2- 1^3=2-1=1

k(3)=2 \times 3^2- 3^3=18-27=-9

 به‌م جۆره؛ k(1) \times k(3)=1 \times -9=-9

واته‌ ماده‌م نه‌خشه‌ی k(x) به‌رده‌وامه‌ وه‌  k(1) \times k(3) <0 ئه‌وا به‌ گوێره‌ی بیردۆزی نرخی ناوه‌ند  خاڵێكی وه‌كو c مان هه‌یه‌ له‌نێوان [1,3] دا كه‌ k(c)=0  ( تێبینی ئه‌وه‌ بكه‌ كه‌ سفر ده‌كه‌وێته‌ نێوان ماوه‌ی داخراوی [-9,1].

به‌م جۆره‌ k(c)=f(c)-g(c)=0   واته‌  f(c)=g(c) كه‌ دیاره‌ ئه‌مه‌یش داواكراوه‌كه‌ بوو!

تێبینی ئه‌وه‌ بكه‌، كه‌ بیردۆزی IVT پێمان ناڵێت كه‌ ئاخۆ ئه‌و خاڵه‌ كامه‌یه‌، وه‌ هه‌ڵبه‌ت دۆزینه‌وه‌ی زۆرجار موسته‌حیله‌! به‌ڵام رێگاو ته‌كنیك زۆره‌ بۆ دۆزینه‌وه‌ی ئه‌و ژماره‌یه‌ به‌نزیكراوه‌یه‌یی ( بۆ نموونه‌ ده‌توانین سوود له‌ میتۆدی نیوه‌تن وه‌ربگرین بۆ دۆزینه‌وه‌ی ئه‌و نرخه‌، كه‌ قوتابی به‌شه‌كانی بیركاری له‌ قۆناغی سێهه‌م له‌ وانه‌ی شیته‌ڵكاری ژماره‌یی (Numerical Analysis ) ده‌یخوێنین وه‌ دیاریشه‌ كۆمپیوته‌ر ئه‌م ڕێگا ته‌قریبیه‌ به‌كارده‌هێنیت.

شاخی گۆیژه‌

شاخی گۆیژه‌

نموونه‌یه‌كی سه‌رنج ڕاكێش

كابرایه‌ك هه‌موو ڕۆژانی هه‌ینی له‌ بناری شاخی گۆیژه‌وه‌ سه‌عات 8 به‌یانی به‌پێ سه‌ركه‌وێت وه‌ كاتژمێر 10 به‌یانی ده‌گاته‌ سه‌ر لوتكه‌ی چیاكه‌، شه‌و له‌سه‌ر چیاكه‌ ده‌مینیته‌وه‌، و به‌یانی به‌ هه‌مان شێوه‌ له‌ كاتژمێر 8 به‌یانی ده‌ست به‌هاتنه‌خواره‌وه‌ ده‌كات و سه‌عات 10 به‌یانی ده‌گاته‌ بناری گۆیژه‌ ( هه‌مان ئه‌و شوێنه‌ی كه‌ ڕۆژی پێشووتر كه‌ له‌ كاتژمێر 8 ده‌ستی به‌ جووله‌ كردبوو).  هه‌ڵبه‌ت هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌ هه‌مان ڕێره‌وی گرتووه‌ته‌ به‌ر، واته‌ ڕێگای سه‌ركه‌وتن و هاتنه‌ خواره‌وه‌ هه‌ر یه‌كه‌.

پرسیاره‌كه‌ ده‌ڵێت:

پیشانی بده‌، كه‌ جێگایه‌ك هه‌یه‌ له‌و ڕێره‌وی سه‌ركه‌وتن و دابه‌زینه‌دا كه‌ ئه‌و پیاوه‌ هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌ له‌ هه‌مان كاتدا له‌و جێگایه‌ بووه‌!

بۆ نموونه‌: له‌وانه‌یه‌ له‌سه‌عات ٩:٤٠ له‌ هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌دا له‌ ناوه‌ڕاستی شاخه‌كه‌دا بیت ( هه‌مان جێگه‌).

 

شیكاركردن:

سه‌ره‌تا هه‌وڵئه‌ده‌ین دوو نه‌خشه‌ دروست بكه‌ین، یه‌كێكیان بۆ سه‌ركه‌وتن و ئه‌وه‌ی دیكه‌یان بۆ دابه‌زین، بواری نه‌خشه‌كه‌ ده‌بیت كات ( دوو كاتژمێر، یاخود باشتره‌ بڵێین 120 خوله‌ك). وه‌ بواری به‌رامبه‌ر ده‌بیته‌ به‌رزی شاخه‌كه‌، واته‌ بۆ هه‌ر خوله‌كیكی دیاریكراو، ئه‌و كابرایه‌ له‌ به‌رزاییه‌كی دیاریكراودایه‌ وه‌ واداده‌نین كه‌ به‌رزی شاخی گۆیژه‌ 2000 مه‌تره‌ ( هه‌ڵبه‌ت هیچ سه‌رچاوه‌یه‌كم له‌به‌ر ده‌ست نیه‌ و ته‌نها ته‌خمینه‌). بۆ سه‌ركه‌وتن نه‌خشه‌كه‌ ناو ده‌نین f(x) بۆ هاتنه‌خواره‌وه‌ g(x) گه‌ر سه‌رنج بده‌یت، نه‌خشه‌ی یه‌كه‌م رووله‌زیادبوونه‌(increasing) وه‌ ئه‌وه‌ی دووهه‌میان ڕوو له‌كه‌مبوونه‌(decreasing). وه‌ گه‌ر بناری شاخی گۆیژه‌ به‌ A دابنین ( كه‌ به‌رزیه‌كه‌ی سفره‌)  وه‌ خاڵی B به‌ لوتكه دابنین ئه‌وا به‌رزیه‌كه‌ ده‌كاته‌ 2000. به‌م جۆره‌ نرخی دوو نه‌خشه‌كه له‌م دوو جێگایه‌ ده‌دۆزینه‌وه‌ به‌م شێوه‌یه‌:

f(0)=0,g(0)=2000,f(120)=2000,g(120)=0

به‌هه‌مان شێوه‌ی پرسیاره‌كه‌ی پێشووتر نه‌خشه‌یه‌كی تر دروست ده‌كه‌ین به‌ناوی h(x) به‌م جۆره‌ h(x)=f(x)-g(x). كه‌ دیاریشه‌  h(0)=-2000,h(120)=-2000. له‌ كۆتاییدا گه‌ر ئه‌م دوو نرخه‌ جارانی یه‌كتر بكه‌ین ئه‌وا نیشانه‌ی ئه‌نجامه‌كه‌ سالب ده‌بیت.

h(0) \times h(120)=-2000000<0

به‌م جۆره‌ كاتێكی c  بوونی هه‌یه‌  كه‌ تیاییدا h(c)=0 كه‌ دیاره‌ ئه‌مه‌ بۆیه‌ راسته‌ چونكه‌ هه‌موو مه‌رجه‌كانی بیردۆزی IVT ته‌حقیق بوو. به‌م شێوه‌یه‌ f(c)=g(c) به‌مانایه‌كی دیكه‌، له‌ خوله‌كه‌ی c دا له‌ هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌دا كابراكه‌ له‌هه‌مان جێگا ( به‌رزی) شاخی گۆیژه‌دایه‌.

گه‌ر له‌م شه‌رحه‌ی سه‌ره‌وه‌ر باش حالینه‌بوویت، هیوادارم له‌م وێنه‌ی خواره‌وه‌ سوود وه‌ربگریت.

screenshot-2016-09-18-23-29-34

 

سه‌رنج:

  1. هه‌ڵبه‌ت من گریمانه‌ی ئه‌وه‌مكردووه‌ كه‌ بناری شاخی گۆیژه‌ به‌رزیه‌كه‌ی سفره‌ كه‌ هه‌ڵبه‌ت وانیه‌، به‌س ئه‌مه‌ هیچ له‌مه‌سه‌له‌كه‌ ناگۆڕێت، واته‌ هه‌رچه‌ندیك بێت هه‌ر هه‌مان ئه‌نجاممان ده‌ستده‌كه‌ویت.
  2. له‌وانه‌یه‌ كابرا هه‌ندێك جار به‌ كه‌یفی خۆی ئیسراحه‌ت بكات، به‌لام هه‌میشه‌ به‌ دوو سه‌عات ڕێگاكه‌ ده‌بڕێت، واته‌ هه‌ندێك جار زۆر خێرا ده‌ڕوات وه‌ هه‌ندێك جاری تر زۆر خاو ده‌ڕوات.

ڤیستیڤاڵی جۆلیا ڕۆبینسۆن ساڵی سێهه‌م

IMG_1275.jpg13247932_1094687247221009_6140247714106768114_o.jpg

 

IMG_1267.jpg

ده‌بێت وه‌كو تالیس بیربكه‌ینه‌وه‌!

ئایا وه‌كو تالیس بیرده‌كه‌یته‌وه‌؟

هه‌میشه‌ ووتومه‌ وه‌ دوباره‌ی ده‌كه‌مه‌وه‌و بیركاری پێش ئه‌وه‌ی زانست بیت شێوازی بیركردنه‌وه‌یه‌، به‌مانه‌یه‌كی تر له‌وانه‌یه‌ كه‌سیك بیركاری نه‌خوێندبیت یان له‌ڕووی ئه‌كادیمه‌یه‌وه‌ زۆر ڕونه‌چوبێته‌ ناو بیركاریه‌وه‌ به‌لام ده‌كرێت له‌ڕووی بیركاریه‌وه‌ هه‌ندێك ده‌رئه‌نجامی بیركاری بكات كه‌ كه‌سی ئه‌كادیمیش نه‌توانن ئه‌و ئه‌نجامانه‌ به‌ده‌ستبهێنین هۆكاره‌كه‌یش وه‌كو وتم دیاره‌ ئه‌و كه‌سه‌ بیركردنه‌وه‌ی ماتماتیكیانه‌ی هه‌یه‌ بۆ شته‌كان { نموونه‌یش له‌به‌رده‌سته‌ به‌س لێی ده‌گه‌رێم بۆ داهاتوو }.

پێش ئه‌وه‌ی بێمه‌ سه‌ر پۆستی ئه‌مرۆ ده‌مه‌وێت ئه‌وه‌ به‌ تۆ بڵێم كه‌ یه‌كێك له‌باشترین ڕێگاكان بۆ فێركردنی قوتابی مێژووه‌، چی چی  مێژووی چی ؟ ئا ئا به‌لی مێژوو، به‌ڵێ مێژوو وه‌ گێڕاونه‌وه‌ی بیركاری به‌شێوه‌یه‌كی چیرۆك ئاسا خه‌سله‌تی مرۆڤی بوون بۆ بیركاری ده‌گه‌ڕێنێته‌وه‌ و خه‌لك ته‌نها وه‌كو راستی سه‌یری بابه‌ته‌ بیركاریه‌كان ناكات.

بابینه‌ سه‌ر بابه‌ته‌كه‌ی خومان

من ده‌ڵێم ده‌بێت هه‌موومان وه‌كو تالیس بیربكه‌ینه‌وه‌،تالیس زانایه‌كی گریك بوو كه‌ به‌باوكی ئه‌ندازه‌یش ناسراوه‌، كه‌سێك بوو حه‌زی له‌ له‌گه‌ران وبازرگانی بوو، ئه‌مه‌یش بوو بووه‌هۆی ئه‌وه‌ پاشخانیكی باش له‌ ئه‌زمونی خه‌لكی تر ببینیت ، به‌سروشت كه‌سێكی فزولی بوو بویه‌ به‌ردوه‌م فێری شتی نوێ ده‌بوو……

تالیس سه‌ردانی میسر ده‌كات، وه‌ دیاره‌ ئه‌وه‌ی سه‌ردانی میسر بكات ده‌بیت سه‌رێكیش له‌ ئه‌هرامه‌كانی جیزه‌ بدات، هه‌ڵبه‌ت تالیس كه‌سێكی ناسراو بوو كاتیك ئه‌و سه‌ردانه‌ی كرد، بۆیه‌ كۆمه‌ڵێك له‌ زانا میسریه‌ كونه‌كان یاوه‌ری ئه‌و گه‌شته‌یان كرد بۆ ئه‌هرامه‌كان، وه‌ بیرمان نه‌چێت میسریه‌ كونه‌كان به‌داهێنه‌ری ئه‌ندازه‌ داده‌نرێت، وه‌ زۆر موهته‌م بوون به‌ پێوانه‌ی شته‌كان كه‌ دیاره‌ ئه‌مه‌یش به‌ پێچه‌وانه‌ی گریگه‌كانه‌ كه‌ زیاتر موهته‌م بوون به‌ تێگه‌تشتن له‌بیرۆكه‌ی بابه‌ته‌كان و كه‌متر به‌ پێوانه‌ی شته‌كان .

سه‌ره‌نجام زانا میسریه‌كان ویستیان تالیس ئیحراج بكه‌ن به‌وه‌ی پرسیارێكی بیركاری لێبكه‌ن كه‌ نه‌توانیت وه‌لامی بداته‌وه‌ ، وه‌ دیاره‌ وه‌كو باسم كرد مه‌ره‌قیان پێوانه‌بوو، ئه‌م دایه‌لۆگه‌ روویدا له‌نێوان تالیس و زانا میسریه‌كان.

زانا میسریه‌كان:- ده‌توانیت پێمان بڵێت به‌رزی ئه‌هرامی جیزه‌ چه‌نده‌؟

تالیس: پاش بێده‌نگبوون بۆ ماوه‌یه‌ك و تێڕامان له‌ هه‌ره‌می جیزه‌، سه‌ری له‌قاند و وتی به‌ڵێ.

زانا میسریه‌كان:- چون؟

تالیس: ئه‌م گۆچانه‌ی ده‌ستم به‌شێوه‌یه‌كی ستونی له‌گه‌ل ڕووی زه‌وی ده‌ده‌نیم،كاتیك درێژی سێبه‌ری گۆچانه‌كه‌ هێنده‌ی درێژی گۆچانه‌كه‌ بوو ، ئه‌وه‌ ئه‌و كاته‌ درێژی سێبه‌ری هه‌ره‌مه‌كه‌ ده‌كاته‌ به‌رزی هه‌ره‌مه‌كه‌!

واو،واو،واو… ئه‌وه‌ ده‌یانجاره‌ ئه‌م چیروكه‌ ده‌خوێنمه‌وه‌ جار له‌ دوای جوار زیاتر سه‌رسام ده‌بم، ئه‌مه‌یه‌ بیركاری، باشتره‌ بلێم ئه‌مه‌یه‌ جوانی بیركاری راستی بیركاری ده‌بیت وه‌كو ئه‌مه‌ هه‌ندیك جار توشی شوكت بكات نه‌ك به‌س وه‌ربگریت و خوت بده‌یته‌ ده‌ستی . بزانه‌ له‌ قوتابخانه‌كانی كورستان ( به‌جیهانشه‌وه‌ ) هه‌میشه‌ بیروكه‌ی بیركاری بووته‌ قوربانی كومه‌لێك حسابات كه‌ به‌   دڵنیاییه‌وه‌ ئه‌و حساباته‌ پێویسته‌ قوتابی بیزانیت به‌لام گه‌ر هه‌رچی ته‌واوكاری ئه‌م دونیایه‌ هه‌یه‌ ئه‌و ته‌له‌به‌یه‌ بیزانیت ئه‌وه‌ هیچ گره‌نتیه‌ك نیه‌ كه‌ ئه‌و قوتابیه‌ له‌فكره‌ی بابه‌ته‌كه‌ تیگه‌یشتبیت واته‌ ده‌بیت ته‌ریب به‌ حسابات بیرۆكه‌ی بابه‌ته‌كه‌یش فێرببێت، وه‌ به‌دلنیاییه‌وه‌ به‌شێكی زۆر {گه‌ر هه‌مووی نه‌بێت} له‌ قوتابیه‌كان تێنه‌گه‌یشتون له‌ بیرۆكه‌ی بیركاری ( به‌ته‌له‌به‌ی زانكۆیشه‌وه‌) به‌لگه‌ی ئه‌مه‌یش ، بۆ پشووی هاوینه‌ كه‌س هیچی بیرنامێێت و ناتوانیت .

تالیس

تالیس

بۆچی له‌بیركاری سه‌لماندن گرنگه‌؟

پێش ئێوه‌ی ده‌ست به‌وه‌ڵامدانه‌وه‌ی ئه‌م پرسیاره‌ بكه‌م، ده‌بیت باسی ئه‌وه‌ بكه‌م  كه‌ سه‌لماندن یه‌عنی چی ؟

له‌ بیركاری هه‌میشه‌ كه‌ بیردۆزێك()،گریمانه‌یه‌ك() یان كۆنجێكچه‌رێك() مان هه‌بیێت ، هه‌وڵی ئه‌وه‌ ده‌ده‌ین كه‌ ڕاستی و دروستی ئه‌و كۆنجێكچه‌ره‌ به‌لایه‌كدا بخه‌ین، دیاره‌ گرنگ ئه‌وه‌یه‌ یه‌كلابكرێته‌وه‌ وه‌ گرنگ نیه‌ تا ڕاده‌یه‌كی زۆر كه‌ ئایا ڕاسته‌ یاخود نا. به‌هه‌رحاڵ، بۆ یه‌كلاكردنه‌وه‌ی ئه‌و كۆنجێكچه‌ره‌ پێویسته‌ كۆمه‌ڵێك ئامراز به‌كاربهێنرێت، وه‌ سروشتی بیركاری وایه‌ كه‌ ئامرازه‌كانی یه‌كلاكردنه‌وه‌ی هه‌ر گریمانه‌یه‌ك فیزیایی نین { به‌كوردیه‌كه‌ی به‌ده‌ست ناگیرێت}، به‌مانایه‌كی تر به‌ده‌ستهێنانی ئه‌نجامی نوێ له‌ بیركاریی جیاوازه‌ له‌ زانسته‌كانی تر، بۆ نموونه‌ كه‌سێكی بایۆلۆجی دیته‌ تاقیگه‌و كاره‌كانی ده‌كات و ئه‌نجام به‌ده‌ست ده‌هێنیت هه‌مان شتی ڕاسته‌ بۆ فیزیاش { به‌لام فیزیای تیۆری وه‌كو بیركاری وایه‌}، به‌ڵام ئامرازه‌كانی ته‌نها ئاوه‌زه‌ { مێشكی مڕۆڤ}  له‌گه‌ل ئه‌و شتانه‌ی له‌ پێش خۆیه‌وه‌ كراوه‌. دیاریشه‌ كه‌ هه‌ركه‌سێك شێوازی بیركردنه‌وه‌ی  جیاوازه‌ بۆیه‌ پیویست به‌وه‌ كراوه‌ كه‌ زه‌مینه‌یه‌ك سازبكرێت تا هه‌موو بیركاریناسه‌كان بتوانن كار له‌سه‌ر گریمانه‌كان بكرێت و دواتر هه‌موویان ڕێكبه‌ون له‌سه‌ر ئه‌و ئه‌نجامانه‌ی به‌ده‌ستی ده‌هێنێن ، وه‌ به‌دڵنیاییه‌وه‌  پاش ئه‌وه‌ی دڵنیابوون  له‌وه‌ی كه‌ به‌شێوه‌یه‌كی دروست كرداری سه‌لماندنه‌كه‌ی ئه‌نجامدراوه‌،وه‌ ئه‌م شێوازه‌یش  له‌ بیركاری پیێ ده‌وتریت سه‌لماندنی تۆكمه‌{Regrious Proof}.

به‌شێوه‌یه‌كی گشتی مه‌به‌ست له‌ سه‌لماندی تۆكمه‌ ئه‌وه‌یه‌ كه‌  له‌ڕێگه‌ی زنجیره‌ ئارگیومێنتیكی دروست له‌ڕووی لۆجیكه‌وه‌ بگه‌ینه‌وه‌ ئه‌نجامێك كه‌ پێشتر ئه‌و ئه‌نجامه‌مان نه‌بووه‌. وه‌ سروشتی سه‌لماندنی تۆكمه‌ ئه‌وهایه‌ كه‌ هه‌ركه‌سێك شاره‌زایی هه‌یبت له‌ بیركاری و وه‌  سه‌لماندنێكی تۆكمه‌ی بیردۆزیێك بخوێنته‌وه‌ ئه‌وه‌ ته‌نها هاوڕابونی بۆ ده‌مێنیته‌وه‌ وه‌ ناتوانیت هیچ تانه‌یه‌كی لێبدات، هه‌لبه‌ت مه‌به‌ستم له‌وه‌ی بلێت هه‌له‌یه‌، گه‌ر نا زۆر ئاساییه‌ كه‌ كه‌سێك ته‌كنیكی سه‌لماندنه‌كه‌ی به‌دڵ نه‌بێت هه‌رچه‌نده‌ ئه‌و سه‌لماندنه‌یش پته‌و بیت، هه‌ر ئه‌م هۆكاره‌یش وایكردوه‌ زۆرجار بۆ ته‌نها بیردۆزیك(The Three Square Angle Puzzle) زیاتر له‌ سالماندنێكی پته‌وه‌ هه‌یه‌، وه‌ نموونه‌ له‌به‌رده‌ستدایه‌ كه‌ بیردۆزیكی زۆر ساده‌ی ئه‌ندازه‌ نزیكه‌ی ٤٥ سه‌لماندنی پته‌وه‌ی هه‌یه‌ وه‌كو ووتمان هه‌مویان راستن ته‌نها له‌ ته‌كنیك جیاوازن.

مێژووی سه‌لماندنی پته‌وه‌ ده‌گه‌رێته‌وه‌ بۆ گریكه‌كان، به‌تایبه‌ت كتیبی ئلیمێنتی (Elements) ئیقلید كه‌ سه‌رجه‌م ئه‌نجامه‌كانی له‌ڕێگه‌ی ده‌ستنیشانكردنی به‌ڵگه‌نه‌ویسته‌كانه‌وه‌ دواتر به‌چنگهیێانی ئه‌نجام له‌ڕێگه‌ی ئه‌و به‌ڵگه‌نه‌ویستانه‌وه‌ كاری كردووه‌، به‌لام سه‌لماندنی پته‌و به‌مانا فراوانه‌كه‌ی ده‌گه‌ڕێته‌وه‌ بۆ كۆشی() كاتیك هات و سه‌رله‌نوێ زۆر له‌كاره‌كانی گاوس() و ئویله‌ری() به‌شێوه‌ی سه‌لماندی پته‌و دوباره‌ داڕشته‌وه‌، هه‌لبه‌ت ئه‌نجامه‌كانی ئویله‌ر و گاوس ڕاست بوون، به‌لام له‌ ڕووی دارشتنی سه‌لماندنه‌وه‌ كه‌مووكورتی هه‌بوو واته‌ پته‌و نه‌بوون.

وه‌ هه‌میشه‌ سروشتی زاناكان وابووه‌ پێشتر كه‌ هه‌ریه‌ك هه‌وڵی ئه‌وه‌ی داوه‌ سه‌لماندنی پته‌و بۆ ئه‌وانه‌ی پێش خۆی بكات.. بو نموونه‌  ڕیمان() هات و كاره‌كانی كۆشی پته‌و كرد، دواتر وایرسترایس() هاتوو كاری له‌سه‌ر ئه‌نجامه‌كانی ڕیمان كرد و پته‌وه‌ی كرد.

له‌و قسانه‌ی سه‌ره‌وه‌ ئه‌وه‌ حالی بوین كه‌ هه‌موو بیرۆكه‌یه‌كی بیركاری سه‌ره‌تا به‌ ناپته‌و ده‌ستپێكرد، واته‌ له‌ڕووی ئینتویشنه‌وه‌ راست و دروست بوون به‌لام له‌رووی دارشتن و سروستی سه‌لماندنی پته‌وه‌ كه‌م و كوری تیادابووه‌. ئه‌مه‌یش بۆ ئه‌وه‌ ده‌گه‌رێته‌وه‌، كه‌ له‌ بیركاری سه‌ره‌تا كه‌ تیۆرێك داده‌هێنرێت{ یان ده‌دۆزرێته‌وه‌} ئه‌وا كه‌متر كار له‌سه‌ر به‌ره‌سمیكردنی ئه‌نجامه‌كان ده‌كان وه‌ باشتر وایه‌ بڵێن كه‌ ئه‌نجامه‌كان شێوه‌ی كۆتایی وه‌رناگرن و پێویستیان به‌ كات هه‌یه‌، دیاره‌ كه‌ ئه‌مه‌یش خه‌تای سروشتی بیركاریه‌ كه‌ وه‌ك ده‌ڵێن زانستیكی خاوه‌ و هێواشه‌، وه‌ سالانیكی زۆری ده‌وێت تا بیرۆكه‌یه‌ك ڕێچكه‌ی خۆی وه‌رده‌گرێت و ده‌بێته‌ تیۆر.

 

شێوازه‌كانی سه‌لماندن

  1. سه‌لماندی ڕاسته‌وخۆ(Direct Proof)
  2. سه‌لمادن به‌هۆی ده‌رئه‌نجامی بیركاری (mathematical induction)
  3. سه‌لماندی به‌هۆی ناكۆكی (contraposition)
  4. سه‌لماندن به‌هۆی دژیه‌ك(contradiction)
  5. سه‌لماندن له‌رێگه‌ی بنیاتنان (construction)
  6. سه‌لماندن له‌ڕێگه‌ی تین لێبڕان یان هیلاكردن (exhaustion)
  7. سه‌لماندنی كۆمبینۆتۆریاڵ (compunatorial)
  8. سه‌لماندنی نابنیاتنه‌رانه‌(nonconstruciton)
  9. سه‌لماندنی له‌ڕێگه‌ی ئامار  له‌ بیركاری په‌تی(Statistical proofs in pure mathematics)
  10. سه‌لماندن به‌هۆی  هاوكاری-كۆمپیته‌ر (Computer-assisted proofs)

 

ئێستا دێینه‌ سه‌ر باسكردنی هه‌ریه‌ك له‌و ڕێگانه‌، له‌گه‌ل هێنانی نموونه‌یه‌ك بۆ ئاسان تێگه‌یشتن.

یه‌كسانبوونی دوو ژماره‌ی جیاواز

گه‌ر ته‌ماشایه‌كی ئه‌و پرسیاره‌ بكه‌یت و به‌ هه‌ستی خۆت وه‌لام بده‌یته‌وه‌ یه‌كسه‌ر، ئه‌وا وه‌لامه‌كه‌ت نه‌رێنی ده‌بێت، عوزریشت بۆ وه‌لامه‌كه‌ت ئه‌وه‌یه‌ كه‌ دیاره‌و ئاشكرایه‌ ئه‌و دوو ژماره‌یه‌ لێكناچن و جیاوازن،به‌لام منیش گریمان هاتمه‌ هه‌ر بۆچوونه‌كه‌ی تۆ، ئه‌وه‌ كاته‌ پرسیارێك دیته‌ گۆڕێ، ئه‌ویش، ئایا جیاوازی ئێوانیان چه‌نده‌، یان به‌شێوه‌یه‌كی بیركاریانه‌ قسه‌ بكه‌ین، و بڵێن گه‌ر هاتوو هه‌ردوو ژماره‌ی 0.999\dots,1  یه‌نسان نه‌بن ئه‌وا ده‌بێت یه‌كێك له‌م دوو ئه‌گه‌ره‌ی خواره‌وه‌ ڕاست بێت

ئه‌گه‌ری یه‌كه‌م:-.999\dots >1

ئه‌گه‌ری دووه‌م:-0.999\dots <1

دواتر ده‌كرێت پرسیاره‌كه‌ بگۆڕین بۆ ئه‌م شێوه‌یه‌ :- 1-0.999\dots ?

دڵنیام ناتوانیت ژماره‌یه‌كی موجه‌بم پێبڵێت كه‌ بكاته‌ ئه‌نجامی لێده‌ركردنی ئه‌و دوو ژماره‌یه‌ی سه‌ره‌وه‌. كه‌ ئه‌مه‌یش مانای وایه‌ یه‌كسانن.

به‌س بوه‌سته‌! ئێستا تۆ ناتوانی بیسه‌لمێنیت كه‌ ئه‌و دوو ژماره‌یه‌ یه‌كسان نین، به‌لام ئایا ده‌كرێت بیسه‌لمێنین كه‌ ئه‌و دوو ژماره‌یه‌ یه‌كسانن، مه‌به‌ست له‌ سه‌لماندنیش ، ئه‌و زنجیره‌ ئه‌رگومینته‌ لۆژیكیانه‌نه‌، كه‌ هه‌ر هه‌نگاوێك به‌شێوه‌یه‌ك له‌ شێوه‌كان پشت به‌ هه‌نگاوه‌كانی تر ده‌به‌ستێت و له‌ كۆتایی ئه‌و ئه‌رگوومینتانه‌دا ده‌گه‌ینه‌ ئه‌و ده‌رئه‌نجامه‌ی كه‌ ئه‌وه‌ی پێشووتر بانگه‌شه‌مان بۆ كردووه‌ ڕاست بێت. هه‌ڵبه‌ت زۆر ڕێگه‌ هه‌یه‌ بۆ ئه‌وه‌ی ئه‌و پرسیاره‌ی سه‌ره‌وه‌ی پێبسه‌لمێنین ( هه‌ڵمه‌ت مه‌به‌ستمان له‌ سه‌لماندن جیاوازه‌ له‌ شیكاركردنه ) وه‌ هه‌ر ڕێگایه‌ك پێویستی به‌ جۆرێكی جیاواز له‌ باكگراوند هه‌یه‌، م له‌و ڕێگایه‌وه‌ ده‌ستپێده‌كه‌م كه‌ كه‌مترین زانیاری گه‌ره‌كه‌ له‌سه‌ر بیركاری.

سه‌لماندنی یه‌كه‌م:- با تۆزێك خۆمان ته‌ڕ بكه‌ین به‌ جه‌بیر. وا داده‌نێن x=0.999\dots وه‌ هه‌ردوو لای هاوكێشه‌كه‌ جارانی 10 ده‌كه‌ین واته‌

10x=9.999\dots واته‌ ئێسستا دوو هاوكێشه‌مان هه‌یه‌ وه‌ له‌ خواره‌وه‌ هه‌ردووكی ده‌نووسین:-

x=0.999\dots

10x=9.999\dots هه‌ڵده‌ستین به‌ لێده‌ركردنی هاوكێشه‌ی یه‌كه‌م له‌ دووهه‌م

10x-x=9.999\dots -0.999\dots پاش ساده‌كردنه‌وه‌ 9x=9 دواتر هه‌ردوولا دابه‌شی 9 ده‌كه‌ین x=1 به‌لام پێشتر ووتومانه‌ x=0.999\dots كه‌واته‌ 0.999\dots =1 ئه‌وه‌یش داواكراوه‌كه‌یه‌.

ئیقلیدس له‌ كتێبی بنه‌ماكان ( كتێبی شه‌شه‌م، پرۆپۆزه‌یشنی ٢٠ ) ده‌یسه‌لمێنێت كه‌ ژماره‌یه‌كی ناكۆتا له‌  ژماره‌ی ‌ خۆبه‌ش هه‌یه‌. منیش لێره‌دا به‌كوردی باسی ده‌كه‌م. بو زانیاری به‌ڕیزتان،  ئێقلید میتۆدی دژیه‌كی  { واته‌ تۆ گریمانه‌ی پێچه‌وانه‌ی ئه‌وه‌ ده‌كه‌یت كه‌ ده‌ته‌وه‌یت و دواتر ده‌گه‌یته‌وه‌ حاڵه‌تێك كه‌ ڕووبه‌رووی دووشتی پێچه‌وانه‌ی یه‌كتر ده‌بێته‌وه‌}  به‌كارهێناوه‌ له‌ سه‌لماندنی ئه‌م گریمانه‌یه‌.

بیردۆز:- ژماره‌یه‌كی ناكوتا له‌ ژماره‌ی خۆبه‌ش هه‌یه‌.

سه‌لماندن:- گریمان ژماره‌یه‌كی ناكۆتا له‌ خۆبه‌شمان نیه‌، به‌مانایه‌كی تر ته‌نها ژماره‌كی كوتا له‌ ژماره‌ی خۆبەش هه‌یه‌، وا داده‌نێین ئه‌وانیش بریتین له‌ p_1, p_2 , \dots p_n  . گه‌ر توانیمان ژماره‌یه‌كی خۆبەشی دیكه‌ بدۆزینه‌وه‌ كه‌ له‌و لیسته‌دا نه‌بێت ئه‌وا مانای وایه‌ ده‌گه‌ینه‌ دژیه‌ك. سه‌ره‌تا هه‌ڵده‌ستین به‌ ده‌ستیشانكردی ژماره‌كی تر

q=p_1\times p_2 \dots \times p_{n}+1 وه‌ بۆ ئاسانی ئێمه‌ به‌م شێوه‌ی ده‌نووسین q=p+1  . له‌ پێناسه‌كه‌وه‌ دیاره‌ كه‌ q جیاوازه‌ له‌ سه‌رجه‌م ژماره‌ خۆبه‌شه‌كانی لیسته‌كه‌. لێره‌ دوو ئه‌گه‌رمان هه‌یه‌ له‌سه‌ر q :-

  • گه‌ر q ژماره‌یه‌كی خۆبه‌ش بێت{ وه‌ دڵنیاین له‌وه‌ی كه‌ جیاوازه‌ له‌وانی دیكه‌} ئه‌وا ده‌گه‌ینه‌ دژیه‌ك، چونكه‌ ئیمه‌ له‌سه‌ره‌تاوه‌ هه‌موو ژماره‌ خۆبه‌شه‌كانمان خسته‌ لیستێكه‌وه‌ به‌لام دواتر ژماره‌یه‌كی تری خۆبه‌خشمان دۆزیه‌وه‌ كه‌ له‌و لیسته‌ نه‌بوو.
  • گه‌ر q ژماره‌یه‌كی خۆبه‌ش نه‌بێت، له‌م حاله‌ته‌یشدا ده‌بێت q دابه‌شی كومه‌ڵێك كۆلكه‌ی خۆبه‌ش ببێت { گریمان دابه‌شی یه‌ك دانه‌ ده‌بێت} وه‌ دیاریشه‌ ئه‌و كولكه‌ سه‌ره‌تاییه‌ q دابه‌ش ده‌كات، واته‌ هه‌ریه‌ك له‌ p,q دابه‌شی هه‌مان كولكه‌ی خۆبه‌ش ده‌بن{ له‌وانه‌ی یه‌ك دانه‌بێت یاخود زیاتر، به‌لام له‌وه‌ دڵنیایین كه‌ یه‌ك دانه‌مان به‌لایه‌نی كه‌مه‌وه‌ هه‌یه‌ . له‌مه‌یشه‌وه‌ ده‌كرێت بلێین كه‌ q-p=1 دابه‌شی ئه‌و كۆلكه‌ سه‌ره‌تاییه‌ ده‌بێت چونکی  گه‌ر دوو ژماره‌ دابه‌شی هه‌مان ژماره‌ ببن، ئه‌وا جیاوازی نێوانیشیان به‌هه‌مان شێوه‌ دابه‌شی ئه‌و ژماره‌یه‌ ده‌بێت ، به‌لام ئێمه‌ ئه‌وه‌ ده‌زانین كه‌ 1 به‌سه‌ر هێچ ژماره‌یه‌كی خۆبه‌ش دابه‌ش نابێت، دووباره‌ ئه‌مه‌یش دژ یه‌كه‌.

ئه‌م دژیه‌كه‌ له‌وه‌وه‌ سه‌رچاوه‌ی گرتووه‌ كه‌ ووتوومانه‌ ژماره‌یه‌كی كوتا له‌ ژماره‌ی خۆبه‌ش هه‌یه‌، كه‌واته‌ ژماره‌یه‌كی ناكۆتا له‌ ژماره‌ی خۆبه‌شمان هه‌یه‌.

Q.E.D